Question

（2013•泰州三模）设n∈N^*且n≥2，证明：(a1+a2+…+an)2=a12+a22+…+an2+2[a₁（a₂+a₃+…+a_n）+a₂（a₃+a₄+…+a_n）+…+a_n-1a_n]．

Answer 1

分析：直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证n=2时不等式成立；（2）假设当n=k（k≥2）时成立，利用上假设证明n=k+1时，不等式也成立．

解答：证明：（1）当n=2时，有(a1+a2)2=a12+a22+2a1a2，命题成立．   …（2分）
（2）假设当n=k（k≥2）时，命题成立，
即(a1+a2+…+ak)2=a12+a22+…+ak2+2[a₁（a₂+a₃+…+a_k）+a₂（a₃+a₄+…+a_k）+…+a_k-1a_k]成立，…（4分）
那么，当n=k+1时，有(a1+a2+…+ak+ak+1)2=(a1+a2+…+ak)2+2(a1+a2+…+ak)ak+1+ak+12
=a12+a22+…+ak2+2[a₁（a₂+a₃+…+a_k）+a₂（a₃+a₄+…+a_k）+…+a_k-1a_k]+2（a₁+a₂+…+ak)ak+1+ak+12
=a12+a22+…+ak2+ak+12+2[a₁（a₂+a₃+…+a_k+a_k+1）+a₂（a₃+a₄+…+a_k+a_k+1）+…+a_ka_k+1]．
所以当n=k+1时，命题也成立．               …（8分）
根据（1）和（2），可知结论对任意的n∈N^*且n≥2都成立．   …（10分）

点评：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤和方法，注意证明n=k+1时，必须用上假设，这是易错点．