Question

在平面直角坐标系xOy中，P_n（n，n²）（n∈N₊）是抛物线y=x²上的点，△OP_nP_n+1的面积为S_n．
（1）求S_n；
（2）化简

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

；
（3）试证明S1+S2+…+Sn=

n(n+1)(n+2)

6

．

Answer 1

分析：（1）由题意利用直线所过的两个点写出直线的方程，要求三角形的面积，有面积公式，应先求出线段P_nP_n+1的长度，再有点到直线的距离公式求出距离，利用S△=

1

2

×底×高公式求出即可；
（2）有（1）可知Sn=

n(n+1)

2

的式子，有式子的特点选择裂项相消求和即可；
（3）有S_n，应该先求出S₁，S₂…S，在利用累加法求证结论即可．

解答：（1）依题意，P_n+1（n+1，（n+1）²），直线P_nP_n+1的方程为

y-n2

x-n

=

(n+1)2-n2

(n+1)-n

，
即（2n+1）x-y-n（n+1）=0，PnPn+1=

[(n+1)-n]2+[(n+1)2-n2]2

=

4n2+4n+2

，
点O到直线P_nP_n+1的距离d=

n(n+1)

4n2+4n+2

，
所以Sn=

1

2

×PnPn+1×d=

n(n+1)

2

．
（2）

1

Sn

=

2

n(n+1)

=

2

n

-

2

n+1

，

1

S1

+

1

S2

++

1

Sn

=

2

1

-

2

n+1

=

2n

n+1

，
（3）因为

n(n+1)(n+2)

6

-

(n-1)n(n+1)

6

=

3n(n+1)

6

=

n(n+1)

2

=Sn，
从而

(n-1)n(n+1)

6

-

(n-2)(n-1)n

6

=Sn-1，，

2×3×4

6

-

1×2×3

6

=S2，

1×2×3

6

-

0×1×2

6

=S1，
以上各式累加得S1+S2++Sn=

n(n+1)(n+2)

6

．

点评：此题考查了求直线的方程的两点式点到直线的距离公式，三角形的面积公式及数列的裂项相消法求和，还考查了数列的累加法．