Question

已知平面直角坐标系中，A₁(-2，0)，A₂(2,0)、A₃(1,)，△A₁A₂A₃的外接圆为C；椭圆C₁以线段A₁A₂为长轴，离心率e=.

(1)求圆C及椭圆C₁的方程；

(2)设椭圆C₁的右焦点为F，点P为圆C上异于A₁、A₂的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线x=2于点Q，判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明.

Answer 1

解:(1)∵|OA₁|=|OA₂|=|OA₃|=2，

∴外接圆C以原点O为圆心，线段OA₁为半径，故其方程为x²+y²=4.

∴2a=4.∴a=2.又e=,∴c=,可得b=.∴所求椭圆C₁的方程是+=1.

(2)直线PQ与圆C相切.

证明:设P(x₀,y₀)(x₀≠±2),则y₀²=4-x₀².当x₀=时,P(,±),Q(2,0),k_OP·k_PQ=-1,

∴OP⊥PQ;当x₀≠2时,k_PF=,∴k_OQ=-.

∴直线OQ的方程为y=-x.

因此，点Q的坐标为(2,).

∵k_PQ====,

∴当x₀=0时,k_PQ=0,OP⊥PQ;当x₀≠0时,k_OP=,∴k_PQ·k_OP=-1,OP⊥PQ.

综上，当x≠±2时，OP⊥PQ，故直线PQ始终与圆C相切.