Question

已知是奇函数
（Ⅰ）求k的值，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果，判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵是奇函数，
∴f（x）+f（-x）=0，即
则1-k²x²=1-x²，即k=±1，
当k=1时，，所以k=-1
定义域为：{x|x＞1或x＜-1}
（Ⅱ）在（1，+∞）上任取x₁，x₂，并且x₁＞x₂，则
又（x₁+1）（x₂-1）-（x₁-1）（x₂+1）=2（x₂-x₁）＜0∴，又a＞1，
∴
所以f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在（1，+∞）上是单调递减函数
分析：（I）根据函数是奇函数，则f（x）+f（-x）=0，建立等式关系，求出k的值，然后根据真数大于零求出函数的定义域；
（II）在（1，+∞）上任取x₁，x₂，并且x₁＞x₂，然后判定f（x₁）与f（x₂）的大小，从而判断f（x）在（1，+∞）上的单调性．
点评：本题主要考查了奇函数的定义，以及函数的定义域和函数在给定区间上的单调性，同时考查了计算能力，属于中档题．