Question

【题目】如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形，平面，分别为的中点.

（1）证明：平面.

（2）若，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）记的中点为，连接，，通过证明，且推出四边形为平行四边形，则，由线线平行推出线面平行；（2）以为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法向量，代入即可求得二面角的余弦值从而求正弦值.

（1）证明：记的中点为，连接，.

因为分别为的中点，

则，且.

因为，且，

所以，且，

所以四边形为平行四边形，

则.

又平面，平面，

所以平面.

（2）以为原点，分别以，，为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

设平面的法向量，

则

令，则.

设平面的法向量为，

则

令，则.

，

设二面角为，则，

即二面角的正弦值为.