Question

【题目】已知函数.

（1）求的极值；

（2）若，求正实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，的极小值为，无极大值；当时，的极小值为，无极大值；（2）.

【解析】

（1）由题可知，，，分类讨论和时，利用导函数求出的单调性，进而可求出极值；

（2）因为，所以，构造函数，，求导，分类讨论和时的单调性，进而得出的最值，从而得出正实数的取值范围.

（1）因为，，

①当时，，

若，则，在单调递减；

若，则，在单调递增，

所以的极小值为，无极大值；

②当时，，

若，则，在单调递减；

若，则，所以在单调递增，

所以的极小值为，无极大值；

综上所述，当时，的极小值为，无极大值；

当时，的极小值为，无极大值.

（2）由（1）知，当时，在单调递减，在单调递增，

所以，所以，

因为，

所以，所以，（*），

令，，

则，

因为，所以，

①若，则，

当时，则，所以在单调递增，

当时，则，所以在单调递减，

所以，

又因为，且和都在处取得最值，

所以当，解得，所以，

②若，则，

当时，，在单调递减；

当时，，在单调递增；

当时，，在单调递减，

所以，与（*）矛盾，不符合题意，舍去.

综上，正实数的取值范围为.