【题目】已知函数,
,
.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若恒成立,
,求
的最大值.
【答案】(1)当时,函数
在
上单调递增;当
时,函数
在
上单调递增,在
单调递减;(2)
的最大值为
.
【解析】
(1)对函数进行求导,分
和
两种情况利用导数判断函数
的单调性;
(2)恒成立等价于
对任意
恒成立,结合(1)中的结论,分
和
两种情况分别求出函数
的最大值,并满足
,据此得到关于
的不等式,进而求出
的最大值即可.
(1)因为函数,
,
,
所以,
,
当时,
在
上恒成立,
所以函数在
上单调递增;
当时,令
,则
,
所以当时,
;当
时,
,
所以函数在
上单调递增,在
单调递减,
综上可知,当时,函数
在
上单调递增;
当时,函数
在
上单调递增,在
单调递减.
(2)由题意知,恒成立等价于
对任意
恒成立,
由(1)知,当时,函数
在
上单调递增,
所以当时,
显然不符合题意,故舍去;
当时,函数
在
上单调递增,在
单调递减,
所以此时函数的最大值为
,即需满足
成立,
所以可得,两边同时除以
可得,
,
,
令,则
,
所以函数在
上单调递增,
上单调递减,
所以当时,函数
有最大值为
,即
,
故所求的最大值为
.
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【题目】一幅标准的三角板如图1中,为直角,
,
为直角,
,且
,把
与
拼齐使两块三角板不共面,连结
如图2.
(1)若是
的中点,
是
的中点,求证:
平面
;
(2)在《九章算术》中,称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”,若图2中,三棱锥
的体积为2,则图2是否为鳖臑?说明理由.
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【题目】设函数,下述四个结论:
①是偶函数;
②的最小正周期为
;
③的最小值为0;
④在
上有3个零点
其中所有正确结论的编号是( )
A.①②B.①②③C.①③④D.②③④
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【题目】如图,某景区是一个以为圆心,半径为
的圆形区域,道路
,
成
角,且均和景区边界相切,现要修一条与景区相切的观光木栈道
,点
,
分别在
和
上,修建的木栈道
与道路
,
围成的三角地块
.
(1)求修建的木栈道与道路
,
围成的三角地块
面积的最小值;
(2)若景区中心与木栈道
段连线的
.
①将木栈道的长度表示为
的函数,并指定定义域;
②求出木栈道的长度最小值.
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【题目】为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标,国家加大了扶贫攻坚的力度,某地区在2015年以前的年均脱贫率(脱贫的户数占当年贫困户总数的比)为70%,2015年开始全面实施“精准扶贫”政策后,扶贫效果明显提高,其中2019年度实施的扶贫项目,各项目参加户数占比(参加户数占2019年贫困总户数的比)及该项目的脱贫率见下表:
实施项目 | 种植业 | 养殖业 | 工厂就业 |
参加占户比 | 45% | 45% | 10% |
脱贫率 | 96% | 96% | 90% |
那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的( )倍.
A.B.
C.
D.
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【题目】设f(x)是定义域为R的周期函数,最小正周期为2,且
f(1+x)=f(1-x),当-1≤x≤0时,f(x)=-x.
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)试求出函数f(x)在区间[-1,2]上的表达式.
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【题目】如图,已知为抛物线
上一点,斜率分别为
,
的直线PA,PB分别交抛物线于点A,B(不与点P重合).
(1)证明:直线AB的斜率为定值;
(2)若△ABP的内切圆半径为.
(i)求△ABP的周长(用k表示);
(ii)求直线AB的方程.
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【题目】如图所示,在四棱锥中,
平面
是
的中点,
是
上的点且
为
边
上的高.
(1)证明: 平面
;
(2)若,求三棱锥
的体积;
(3)在线段上是否存在这样一点
,使得
平面
?若存在,说出
点的位置.
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