Question

【题目】如图，某景区是一个以为圆心，半径为的圆形区域，道路，成角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道，点，分别在和上，修建的木栈道与道路，围成的三角地块.

（1）求修建的木栈道与道路，围成的三角地块面积的最小值；

（2）若景区中心与木栈道段连线的.

①将木栈道的长度表示为的函数，并指定定义域；

②求出木栈道的长度最小值.

Answer 1

【答案】（1）平方千米；（2）①；②.

【解析】

（1）利用，结合余弦定理，利用基本不等式，求得的最小值，即可求得结果；

（2）①根据角度关系，结合三角函数的应用，即可容易表示；

②由①中所求，结合均值不等式，即可容易求得最小值.

（1）设三角地带面积为，，，，

三角形内切圆面积，又因为，

所以，

得，①

在中，由余弦定理得

，②

由①和②得，，

修建的木栈道与道路，围成的三角地带面积的最小值为平方千米.

（2）①设直线和圆相切点，，则，

，，，，

；

②

，

当且仅当时等号成立，

故木栈道的长度最小值为.