Question

【题目】在直角坐标系中，曲线上的任意一点到直线的距离比点到点的距离小1.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若点是圆上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，求直线斜率的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）设，根据题意可得点的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点的轨迹的方程；

（2）设出切线的斜率分别为，切点，，点，则可得过点的拋物线的切线方程为，联立抛物线方程并化简，由相切时可得两条切线斜率关系；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出，可求得，结合点满足的方程可得的取值范围，即可求得的范围.

（1）设点，

∵点到直线的距离等于，

∴，化简得，

∴动点的轨迹的方程为.

（2）由题意可知，的斜率都存在，分别设为，切点，，

设点，过点的拋物线的切线方程为，

联立，化简可得，

∴，即，

∴，.

由，求得导函数，

∴，，，

∴，

因为点满足，

由圆的性质可得，

∴，即直线斜率的取值范围为.