【题目】如图(1),等腰梯形,
,
,
,
、
分别是
的两个三等分点.若把等腰梯形沿虚线
、
折起,使得点
和点
重合,记为点
,如图(2).
(1)求证:平面平面
;
(2)求平面与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)根据线面垂直的判定定理,先证明面
,再由面面垂直的判定定理,即可得出结论成立;
(2)过作
于
,过
作BE的平行线交AB于
,得到
面
,又
,EF,
所在直线两两垂直,以它们为轴建立空间直角坐标系,用空间向量的方法,分别求出平面
和平面
的法向量,计算向量夹角余弦值,即可求出结果.
(1)因为,
是
的两个三等分点,易知,
是正方形,故
,
又,且
,所以
面
,
又面
,所以面
.
(2)过作
于
,过
作BE的平行线交AB于
,则
面
,
又,EF,
所在直线两两垂直,以它们为轴建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
所以,
,
,
,
设平面的法向量为
,
则,∴
,
,
设平面的法向量为
,
则,∴
,
,
因此,
所以平面与平面
所成锐二面角的余弦值
.
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【题目】在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线( )
A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条
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【题目】2019年9月26日,携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》,2018年国庆假日期间,西安共接待游客1692.56万人次,今年国庆有望超过2000万人次,成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定:若公司某位导游接待旅客,旅游年总收人不低于40(单位:万元),则称该导游为优秀导游.经验表明,如果公司的优秀导游率越高,则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游40名,统计他们一年内旅游总收入,分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下:
(1)求的值,并比较甲、乙两家旅游公司,哪家的影响度高?
(2)求甲公司一年内导游旅游总收入的中位数,乙公司一年内导游旅游总收入的平均数.(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)
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【题目】在直角坐标系中,曲线
上的任意一点
到直线
的距离比
点到点
的距离小1.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)若点是圆
上一动点,过点
作曲线
的两条切线,切点分别为
,求直线
斜率的取值范围.
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【题目】在正整数数列中,由1开始依次按如下规则,将某些数取出.先取1;再取1后面两个偶数2,4;再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9;再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16;再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去,得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,…,则在这个新数列中,由1开始的第2 019个数是( )
A. 3 971B. 3 972C. 3 973D. 3 974
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【题目】在一次运动会上,某单位派出了由6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛.
(1)如果随机抽派5名队员上场比赛,将主力队员参加比赛的人数记为,求随机变量
的数学期望;
(2)若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤,不宜同时上场;替补队员中有2名队员身材相对矮小,也不宜同时上场,那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员,教练员有多少种组队方案?
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【题目】已知为坐标原点,椭圆
的右焦点为
,离心率为
,过点
的直线
与
相交于
两点,点
为线段
的中点.
(1)当的倾斜角为
时,求直线
的方程;
(2)试探究在轴上是否存在定点
,使得
为定值?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,倾斜角为
的直线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点为极点,以
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程是
.
(Ⅰ)写出直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线经过曲线
的焦点
且与曲线
相交于
两点,设线段
的中点为
,求
的值.
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