Question

【题目】在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.

（Ⅰ）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线经过曲线的焦点且与曲线相交于两点，设线段的中点为，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由直线的参数方程消去参数得直线的普通方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的转化关系可得曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）根据已知条件可得直线的参数方程，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，根据直线参数方程中的参数的几何意义和交点的中点可得的值.

（Ⅰ）∵直线的参数方程为（为参数），

∴直线的普通方程为 ，

由，得，即，

∴曲线的直角坐标方程为，

（Ⅱ）∵直线经过曲线的焦点

∴ ，直线的倾斜角．

∴直线的参数方程为（为参数）

代入，得，

设两点对应的参数为．

∵为线段的中点，∴点对应的参数值为．

又点，则.