Question

【题目】如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为，，，，，.

（1）求证：平面；

（2）为线段上的点，当时，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据四边形是矩形，得到，根据线面平行的判定定理得到平面，进而得到平面，利用面面平行的判定定理证得平面平面，利用面面平行的性质得到平面，证得结果；

（2）根据题意，证得平面平面，作于点，则平面，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用空间向量求得二面角的余弦值.

（1）证明：因为四边形是矩形，所以，

又因为平面，所以平面，

因为，平面，所以平面，

又因为，所以平面平面，

而平面，所以平面.

（2）解：因为，，所以，

因为平面，故平面平面，

作于点，则平面，

以为原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

由，，，得，，

则，，，，

所以，

由已知，所以，，

设平面的一个法向量为，则，

取，，，得，又平面的一个法向量为，

所以，即二面角的余弦值为.