【题目】已知函数为奇函数,且的极小值为.
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)若过点可作三条不同的直线与曲线相切,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ),.(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)根据题意可得,代入表达式可得,从而可得,求导函数令,求出极值点,再利用导数判断函数的单调性,进而确定的极小值为,由即可求解.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,设点是曲线的切点,利用导数的几何意义求出切线方程,将点代入切线方程得,设,只要使函数有3个零点即可,利用导数与函数单调性的关系可得,解不等式组即可.
(Ⅰ)因为是奇函数,所以恒成立,则.
所以,所以,
则
令,解得或.
当时,,当时,.
在单调递减,在单调递增,所以的极小值为,
由,解得,
所以,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,
设点是曲线的切点,则在点处的切线的方程为即
因为其过点,所以,,
由于有三条切线,所以方程应有3个实根,
设,只要使曲线有3个零点即可.
设,∴或分别为的极值点,
当和时,在和上单调递增,
当时,在上单调递减,
所以,为极大值点,为极小值点.
所以要使曲线与轴有3个交点,当且仅当,即,
解得.
即实数的取值范围为.
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【题目】如图,在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中,平面平面ABCD,为等腰直角三角形,,,点E,F分别为BC,PD的中点,直线PC与平面AEF交于点Q.
(1)若平面平面,求证:.
(2)求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值.
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【题目】某校在一次期末数学测试中,为统计学生的考试情况,从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩,被测学生成绩全部介于65分到145分之间(满分150分),将统计结果按如下方式分成八组:第一组,,第二组,,第八组,,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.
(1)求第七组的频率,并完成频率分布直方图;
(2)用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值);
(3)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名,求他们的分差的绝对值小于10分的概率.
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【题目】△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c,=(2b-c,a),=(cosA,-cosC),且⊥.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)当y=2sin2B+sin(2B+)取最大值时,求角的大小.
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【题目】圆锥(其中为顶点,为底面圆心)的侧面积与底面积的比是,则圆锥与它外接球(即顶点在球面上且底面圆周也在球面上)的体积比为( )
A. B. C. D.
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【题目】在极坐标系中,曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为,设与交于、两点,中点为,的垂直平分线交于、.以为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.
(1)求的直角坐标方程与点的直角坐标;
(2)求证:.
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【题目】某印刷厂为了研究单册书籍的成本(单位:元)与印刷册数(单位:千册)之间的关系,在印制某种书籍时进行了统计,相关数据见下表:
印刷册数(千册) | |||||
单册成本(元) |
根据以上数据,技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型,得到两个回归方程,方程甲:,方程乙:.
(1)为了评价两种模型的拟合效果,完成以下任务.
①完成下表(计算结果精确到);
印刷册数(千册) | ||||||
单册成本(元) | ||||||
模型甲 | 估计值 | |||||
残差 | ||||||
模型乙 | 估计值 | |||||
残差 |
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和,并通过比较,判断哪个模型拟合效果更好.
(2)该书上市之后,受到广大读者热烈欢迎,不久便全部售罄,于是印刷厂决定进行二次印刷,根据市场调查,新需求量为千册,若印刷厂以每册元的价格将书籍出售给订货商,求印刷厂二次印刷千册获得的利润?(按(1)中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本).
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