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    【题目】已知，若方程有2个不同的实根，则实数的取值范围是_____（结果用区间表示）．

    【答案】

    【解析】

    由方程的解与函数图象的交点个数的关系可得有2个不同的实根等价于的图象与直线的交点个数为2，由函数图象的性质及利用导数求切线方程可设过原点的直线与相切与点，由，则此切线方程为，又此直线过原点，则求得，即切线方程为再结合图象可得实数的取值范围是，得解.

    解：由，

    可得：在的图象关于直线对称，

    有2个不同的实根等价于的图象与直线的交点个数为2，

    的图象与直线的位置关系如图所示，

    设过原点的直线与相切与点，

    由，

    则此切线方程为：，

    又此直线过原点，

    则求得，

    即切线方程为：，

    由图可知：当的图象与直线的交点个数为2时，

    实数的取值范围是，

    故答案为：．

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    【题目】定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”，另外，定义区间的“复区间长度”为，已知函数，则（ ）

    A.是的一个“完美区间”

    B.是的一个“完美区间”

    C.的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为

    D.的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为

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    【题目】已知椭圆的中心为原点，左焦点为，离心率为，不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点.

    （1）若为线段的中点，求直线的方程.

    （2）求点是直线上一点，点在椭圆上，且满足，设直线与直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由.

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    【题目】某单位为促进职工业务技能提升，对该单位120名职工进行一次业务技能测试，测试项目共5项.现从中随机抽取了10名职工的测试结果，将它们编号后得到它们的统计结果如下表（表1）所示（“√”表示测试合格，“×”表示测试不合格）.

    表1：

    编号\测试项目

    1

    2

    3

    4

    5

    1

    ×

    √

    √

    √

    √

    2

    √

    √

    √

    √

    ×

    3

    √

    √

    √

    √

    ×

    4

    √

    √

    √

    ×

    ×

    5

    √

    √

    √

    √

    √

    6

    √

    ×

    ×

    √

    ×

    7

    ×

    √

    √

    √

    ×

    8

    √

    ×

    ×

    ×

    ×

    9

    √

    √

    ×

    ×

    ×

    10

    √

    √

    √

    √

    ×

    规定：每项测试合格得5分，不合格得0分.

    （1）以抽取的这10名职工合格项的项数的频率代替每名职工合格项的项数的概率.

    ①设抽取的这10名职工中，每名职工测试合格的项数为，根据上面的测试结果统计表，列出的分布列，并估计这120名职工的平均得分；

    ②假设各名职工的各项测试结果相互独立，某科室有5名职工，求这5名职工中至少有4人得分不少于20分的概率；

    （2）已知在测试中，测试难度的计算公式为，其中为第项测试难度，为第项合格的人数，为参加测试的总人数.已知抽取的这10名职工每项测试合格人数及相应的实测难度如下表（表2）：

    表2：

    测试项目

    1

    2

    3

    4

    5

    实测合格人数

    8

    8

    7

    7

    2

    定义统计量，其中为第项的实测难度，为第项的预测难度（）.规定：若，则称该次测试的难度预测合理，否则为不合理，测试前，预估了每个预测项目的难度，如下表（表3）所示：

    表3：

    测试项目

    1

    2

    3

    4

    5

    预测前预估难度

    0.9

    0.8

    0.7

    0.6

    0.4

    判断本次测试的难度预估是否合理.

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    【题目】某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组，，第二组，，第八组，，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．

    （1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；

    （2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；

    （3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．

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    【题目】[选修4-4：坐标系与参数方程]

    在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

    （1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

    （2）设点，直线与曲线相交于两点，，求的值．

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    【题目】如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为，，，，，.

    （1）求证：平面；

    （2）为线段上的点，当时，求二面角的余弦值.

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    【题目】圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ）

    A. B. C. D.

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    【题目】已知函数

    （1）求函数的单调区间和的极值；

    （2）对于任意的，，都有，求实数的取值范围.

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