【题目】已知函数
(1)求函数的单调区间和的极值;
(2)对于任意的,,都有,求实数的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系内,动点到定点的距离与到定直线距离之比为.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)设点是轨迹上两个动点直线与轨迹的另一交点分别为且直线的斜率之积等于,问四边形的面积是否为定值?请说明理由.
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【题目】如图,单位圆上有一点,点以点为起点按逆时针方向以每秒弧度作圆周运动,点的纵坐标是关于时间的函数,记作.
(1)当时,求;
(2)若将函数向左平移个单位长度后,得到的曲线关于轴对称,求的最小正值,并求此时在的值域.
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【题目】某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动,分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛,每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛,且各队员之间参加比赛相互独立;已知甲同学必选“中国象棋”,不选“国际象棋”,乙同学从四种比赛中任选两种参与.
(1)求甲参加围棋比赛的概率;
(2)求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数,).在极坐标系(以坐标原点为极点,以轴非负半轴为极轴)中,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若曲线上恰有一个点到曲线的距离为1,求曲线的直角坐标方程.
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【题目】如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=AC,A1B⊥AC1,设O为AC1与A1C的交点,点P为BC的中点.求证:
(1)OP∥平面ABB1A1;
(2)平面ACC1⊥平面OCP.
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【题目】某地区在一次考试后,从全体考生中随机抽取44名,获取他们本次考试的数学成绩(x)和物理成绩(y),绘制成如图散点图:
根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,但图中有两个异常点A,B.经调查得知,A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常,B考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确,剔除这两组数据后,对剩下的数据作处理,得到一些统计的值:其中xi,yi分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩,i=1,2,…,42,y与x的相关系数r=0.82.
(1)若不剔除A,B两名考生的数据,用44组数据作回归分析,设此时y与x的相关系数为r0.试判断r0与r的大小关系,并说明理由;
(2)求y关于x的线性回归方程(系数精确到0.01),并估计如果B考生加了这次物理考试(已知B考生的数学成绩为125分),物理成绩是多少?(精确到个位);
(3)从概率统计规律看,本次考试该地区的物理成绩ξ服从正态分布,以剔除后的物理成绩作为样本,用样本平均数作为μ的估计值,用样本方差s2作为σ2的估计值.试求该地区5000名考生中,物理成绩位于区间(62.8,85.2)的人数Z的数学期望.
附:①回归方程中:
②若,则
③11.2
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