Question

设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足关系式:3tS_n－(2t+3)S_n－1=3t(t＞0,n=2,3,4…).

(1)求证: 数列{a_n}是等比数列；

(2)设数列{a_n}的公比为f(t)，作数列{b_n}，使b₁=1,b_n=f()(n=2,3,4…)，求数列{b_n}的通项b_n；

(3)求和: b₁b₂－b₂b₃+b₃b₄－…+b_2n－1b_2n－b_2nb_2n+1.

Answer 1

(1)证明略 (2) b_n=1+(n－1)= (3) b₁b₂－b₂b₃+b₃b₄－…+b_2n－1b_2n－b_2nb_2n+1 － (2n²+3n)

解析:

(1)由S₁=a₁=1,S₂=1+a₂，得3t(1+a₂)－(2t+3)=3t.

∴a₂=.

又3tS_n－(2t+3)S_n－1=3t，                                 ①

3tS_n－1－(2t+3)S_n－2=3t                                   ②

①－②得3ta_n－(2t+3)a_n－1=0 

∴,n=2,3,4…,

所以{a_n}是一个首项为1公比为的等比数列；

(2)由f(t)= =,得b_n=f()=+b_n－1.

可见{b_n}是一个首项为1，公差为的等差数列.

于是b_n=1+(n－1)=;

(3)由b_n=,可知

{b_2n－1}和{b_2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列，

于是b_2n=,

∴b₁b₂－b₂b₃+b₃b₄－b₄b₅+…+b_2n－1b_2n－b_2nb_2n+1

=b₂(b₁－b₃)+b₄(b₃－b₅)+…+b_2n(b_2n－1－b_2n+1)

=－ (b₂+b₄+…+b_2n)=－·n(+)=－ (2n²+3n).