Question

某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形QPRE（线段EQ和RP为两个底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线段．试求该高科技工业园区的最大面积．

Answer 1

分析：先以A为原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系得到A、F、E、C的坐标．设出抛物线的解析式把F坐标代入可求出，根据坐标EC所在直线的方程，设出P的坐标表示出PQ、QE、PR，利用梯形的面积公式表示出S，求出S′=0时的值来讨论S的增减性得到S的最大值即可．

解答：解：以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系如图，
则A（0，0），F（2，4），
由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为y=ax²（a＞0），
由4=a×2²得，a=1，
∴AF所在抛物线的方程为y=x²，
又E（0，4），C（2，6），
∴EC所在直线的方程为y=x+4，
设P（x，x²）（0＜x＜2），
则PQ=x，QE=4-x²，PR=4+x-x²，
∴工业园区的面积S=

1

2

(4-x2+4+x-x2)•x=-x3+

1

2

x2+4x（0＜x＜2），
∴S'=-3x²+x+4，令S'=0得x=

4

3

或x=-1（舍去负值），
当x变化时，S'和S的变化情况如下表：

由表格可知，当x=

4

3

时，S取得最大值

104

27

．
答：该高科技工业园区的最大面积

104

27

．

点评：考查学生根据实际问题选择函数关系的能力，以及会利用导数求闭区间上函数最值的能力．