Question

某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区．已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB=BC=4km，AO=2km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向上的抛物线的一段．如果要使矩形的相邻两边分别落在AB，BC上，且一个顶点落在曲线段OC上．问：应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1km²）．

Answer 1

分析：根据题意建立相应的函数模型是解决本题的关键．为了方便解题，可以建立适当的坐标系，通过坐标之间的关系建立矩形面积与动点坐标之间的函数关系，利用导数作为工具求解相应函数的最值问题．

解答：解：以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系（如图）
依题意可设抛物线的方程为x²=2py，且C（2，4）．∴2²=2p•4，∴p=

1

2

．
故曲线段OC的方程为y=x²（0≤x≤2）．
设P（x，x²）（0≤x≤2）是曲线段OC上的任意一点，则|PQ|=2+x，|PN|=4-x²
∴工业园区面积S=|PQ|•|PN|=（2+x）（4-x²）=8-x³-2x²+4x．
∴S′=-3x²-4x+4，令S′=0?x₁=

2

3

，x₂=-2，又∵0≤x＜2，∴x=

2

3

．
当x∈[0，

2

3

）时，S′＞0，S是x的增函数；
当x∈（

2

3

，2）时，S′＜0，S是x的减函数．
∴x=

2

3

时，S取到极大值，此时|PQ|=2+x=

8

3

，|PN|=4-x2=

32

9

，
S=

8

3

×

32

9

=

256

27

≈9.5（km²）．而当x=0时，S=8．
所以当x=

2

3

即|PQ|=

8

3

，|PN|=

32

9

，矩形的面积最大为S_max=9.5（km）²．
答：把工业园区规划成长为

32

9

km，宽为

8

3

km时，工业园区的面积最大，最大面积为9.5（km）²．

点评：本题考查函数模型的应用问题，首先要建立矩形面积的函数关系式，可以通过坐标之间的关系实现这一过程，对所找到的函数关系利用导数作为工具解决该最值问题，体现了导数在求解函数最值中的工具作用．实现了实际问题的数学化．