Question

在平面直角坐标系xoy 中，点M 到两定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距离之和为4，设点M 的轨迹是曲线C．
（1）求曲线C 的方程；   
（2）若直线l：y=kx+m 与曲线C 相交于不同两点A、B （A、B 不是曲线C 和坐标轴的交点），以AB 为直径的圆过点D（2，0），试判断直线l 是否经过一定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的定义可知，点M的轨迹C是以两定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）为焦点，长半轴长为2的椭圆，由此可得曲线C的方程；   
（2）直线y=kx+m代入椭圆方程，利用韦达定理，结合以AB为直径的圆过点D（2，0），即可求得结论．

解答：解：（1）设M（x，y），由椭圆的定义可知，点M的轨迹C是以两定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）为焦点，长半轴长为2的椭圆
∴短半轴长为b=

22-12

=

3

∴曲线C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；   
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
直线y=kx+m代入椭圆方程，消去y可得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0
∴x₁+x₂=-

8mk

3+4k2

，x₁x₂=

4(m2-3)

3+4k2

∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

3(m2-4k2)

3+4k2

∵以AB为直径的圆过点D（2，0），
∴k_ADk_BD=-1
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0
∴

3(m2-4k2)

3+4k2

+

4(m2-3)

3+4k2

+

16mk

3+4k2

+4=0
∴7m²+16mk+4k²=0
∴m=-2k或m=-

2k

7

，均满足△=3+4k²-m²＞0
当m=-2k时，l的方程为y=k（x-2），直线过点（2，0），与已知矛盾；
当m=-

2k

7

时，l的方程为y=k（x-

2

7

），直线过点（

2

7

，0），
∴直线l过定点，定点坐标为（

2

7

，0）．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．