Question

已知：

a

=（sinx，1），

b

=（

3

，cosx），设函数f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的周期与最大值；
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）根据向量数量积的坐标运算公式和辅助角公式，化简得f（x）=2sin（x+

π

6

），即可算出函数f（x）的周期与最大值；
（2）由正弦函数的单调区间公式，解关于x的不等式2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，(k∈Z)，即可得到f（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）∵

a

=（sinx，1），

b

=（

3

，cosx），
∴f（x）=

a

•

b

=

3

sinx+cosx=2sin（x+

π

6

）．
因此，函数f（x）的周期为T=

2π

|ω|

=2π，
∵sin（x+

π

6

）的最大值为1，
∴f（x）=2sin（x+

π

6

）最大值为2；
（2）根据题意，可得
设2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，(k∈Z)，
解出2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，(k∈Z)
∴f（x）的单调递增区间为(2kπ-

2π 3

，

2kπ+

π

3

)，(k∈Z)．

点评：本题给出f（x）=

a

•

b

，在已知向量

a

、

b

含有三角函数的坐标情况下求f（x）的周期、最大值与求f（x）的单调区间．着重考查向量的数量积公式、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．