Question

（2009•台州一模）已知向量

a

=（sinx，1），

b

=（t，x），若函数f（x）=

a

•

b

在区间[0，

π

2

]上是增函数，则实数t的取值范围是

[-1，+∞）

．

Answer 1

分析：根据平面向量的数量积运算，可得f（x）=tsinx+x在区间[0，

π

2

]上是增函数．由导数与函数单调性的关系，得不等式
f'（x）≥0即tcosx+1≥0区间[0，

π

2

]上恒成立，结合此时cosx的值域即可得到实数t的取值范围．

解答：解：∵

a

=（sinx，1），

b

=（t，x），
∴

a

•

b

=sinx•t+1•x=tsinx+x，
由此可得f（x）=

a

•

b

=tsinx+x，在区间[0，

π

2

]上是增函数，
∴f'（x）≥0区间[0，

π

2

]上恒成立，
∵对函数f（x）求导数，得f'（x）=tcosx+1，
∴不等式tcosx+1≥0区间[0，

π

2

]上恒成立，
结合在区间[0，

π

2

]上0≤cosx≤1，可得t≥-1
即实数t的取值范围是：[-1，+∞）
故答案为：[-1，+∞）

点评：本题以向量数量积运算为载体，求函数恒成立时实数t的取值范围，着重考查了运用导数研究函数的单调性、不等式恒成立等知识，属于中档题．