Question

（2009•台州一模）已知点B（0，t），点C（0，t-4）（其中0＜t＜4），直线PB、PC都是圆M：（x-1）²+y²=1的切线．
（Ⅰ）若△PBC面积等于6，求过点P的抛物线y²=2px（p＞0）的方程；
（Ⅱ）若点P在y轴右边，求△PBC面积的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用△PBC面积等于6，确定P的坐标，结合直线PB与圆M相切，即可求过点P的抛物线y²=2px（p＞0）的方程；
（Ⅱ）确定PB，PC的方程，求出P的横坐标，表示出△PBC面积，即可求得最小值．

解答：解：（Ⅰ）设P（x_p，y_p），由已知x_p＞0，
∵S△PBC=

1

2

×4×xp=6，∴x_p=3，∴P(3，±

6p

)，（2分）
设直线PB与圆M切于点A，
∵S△PBC=

1

2

×(4+4+2PA)×1=6，∴PA=2，
∵M（1，0）∴PM=

5

，∴PM=

4+6p

=

5

，
∴p=

1

6

，∴y2=

1

3

x（6分）
（Ⅱ）∵点 B（0，t），点C（0，t-4），（7分）
∴两条切线方程为：PB：y=

1-t2

2t

x+t，PC：y=

-t2+8t-15

2t-8

x+t-4，（9分）
∴

1-t2

2t

xp+t=

-t2+8t-15

2t-8

xp+t-4，
∴xp=

2t2-8t

t2-4t+1

，
∵0＜t＜4，∴x_p＜0或xp≥

8

3

，
∵x_p＞0，∴xp≥

8

3

，（13分）
∴S△PBC=

1

2

×4×xp≥

16

3

，
又∵t=2时，S△PBC=

16

3

，∴△PBC面积的最小值为

16

3

（15分）

点评：本题考查抛物线方程，考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．