Question

（2013•广东）设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足4Sn=

a

2 n+1

-4n-1，n∈N*，且a₂，a₅，a₁₄构成等比数列．
（1）证明：a2=

4a1+5

；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）对于4Sn=

a

2 n+1

-4n-1，n∈N*，令n=1即可证明；
（2）利用4Sn=

a

2 n+1

-4n-1，n∈N*，且4Sn-1=

a

2 n

-4(n-1)-1，（n≥2），两式相减即可求出通项公式．
（3）由（2）可得

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．利用“裂项求和”即可证明．

解答：解：（1）当n=1时，4a1=

a

2 2

-5，

a

2 2

=4a1+5，
∵an＞0∴a2=

4a1+5

（2）当n≥2时，满足4Sn=

a

2 n+1

-4n-1，n∈N*，且4Sn-1=

a

2 n

-4(n-1)-1，
∴4an=4Sn-4Sn-1=

a

2 n+1

-

a

2 n

-4，
∴

a

2 n+1

=

a

2 n

+4an+4=(an+2)2，
∵a_n＞0，∴a_n+1=a_n+2，
∴当n≥2时，{a_n}是公差d=2的等差数列．
∵a₂，a₅，a₁₄构成等比数列，∴

a

2 5

=a2•a14，(a2+6)2=a2•(a2+24)，解得a₂=3，
由（1）可知，4a1=

a

2 2

-5=4，∴a₁=1∵a₂-a₁=3-1=2，
∴{a_n}是首项a₁=1，公差d=2的等差数列．
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1．
（3）由（2）可得式

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

1•3

+

1

3•5

+

1

5•7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

= 1 2 •[(1- 1 3 )+( 1 3 - 1 5 )+( 1 5 - 1 7 )+( 1 2n-1 - 1 2n+1 )] = 1 2 •[1- 1 2n+1 ]＜ 1 2 .

点评：熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n项和的关系a_n=S_n-S_n-1（n≥2）是解题的关键．