Question

下列命题中真命题的是

 

．
①?x∈（-∞，0），使得2^x＜3^x成立；
②命题“am²＜bm²，则a＜b”的逆命题是真命题；
③若￢P是q的必要条件，则P是￢q的充分条件；
④?x∈（0，π），则sinx＞cosx．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①可以两边同除以2^x，转化为(

3

2

)x，再结合x∈（-∞，0）判断与1的大小关系；
②关注m的符号进行判断；
③前后互为逆否命题，据此判断；
④举个反例如x=

π

4

代入，则sinx=cosx，所以④错．

解答： 解：对于①，可以两边同除以2^x，转化为(

3

2

)x，因为

3

2

＞1，所以当x∈（-∞，0）时，0＜(

3

2

)x＜1，因此2^x＜3^x，x∈（-∞，0）时恒成立，故①错；
对于②，逆命题是：若a＜b，则am²＜bm²，当m=0时，结论不成立，故②错；
对于③，因为￢P是q的必要条件，即q⇒￢p，其逆否命题是p⇒￢q成立，故p是￢q的充分条件，故③正确；
对于④，当x=

π

4

时，sinx=cosx，故④错误．
故答案为：③．

点评：这道题考查了四种命题、全称命题及特称命题的真假判断及充分必要性的判断，要弄清条件和结论再解决问题．