Question

1．已知复数z=1+i．
（I）若复数ω=z²+3$\overline{z}$-4，则复数ω的模长|ω|=$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）如果$\frac{{z}^{2}+az+b}{{z}^{2}-z+1}$=1-i，求实数a，b的值．

Answer 1

分析 （I）由复数z求出$\overline{z}$，然后代入复数ω=z²+3$\overline{z}$-4化简求值则复数ω的模长可求；
（Ⅱ）把复数z代入$\frac{{z}^{2}+az+b}{{z}^{2}-z+1}$，然后由复数代数形式的乘除运算化简求值，再根据复数相等的定义列出方程组，从而解方程组可求得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵复数z=1+i．
∴$\overline{z}=1-i$，
∴ω=z²+3$\overline{z}$-4=（1+i）²+3（1-i）-4=-1-i．
则复数ω的模长|ω|=$\sqrt{（-1）^{2}+（-1）^{2}}=\sqrt{2}$
故答案为：$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）由复数z=1+i．
得$\frac{{z}^{2}+az+b}{{z}^{2}-z+1}$=$\frac{（1+i）^{2}+a（1+i）+b}{（1+i）^{2}-（1+i）+1}=\frac{a+b+（2+a）i}{i}$=a+2-（a+b）i，
由题设条件知a+2-（a+b）i=1-i，
根据复数相等的定义，得$\left\{\begin{array}{l}{a+2=1}\\{-（a+b）=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，考查了复数相等的定义，是基础题．