Question

如图，椭圆长轴端点为点A、B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且·＝1，| |＝1.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P、Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由.

Answer 1

(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，

由题意知c＝1，又·＝1，

即(a＋c)·(a－c)＝a²－c²＝1，∴a²＝2，∴b²＝1，

∴椭圆方程为＋y²＝1.

(2)假设存在直线l交椭圆于P、Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

∵M(0,1)，F(1,0)，∴k_PQ＝1，

于是设直线l为y＝x＋m，由

得3x²＋4mx＋2m²－2＝0.

∵·＝0＝x₁(x₂－1)＋y₂(y₁－1)＝x₁(x₂－1)＋(x₂＋m)(x₁＋m－1)＝0.

即2x₁x₂＋(x₁＋x₂)(m－1)＋m²－m＝0，

由根与系数的关系得

2·－(m－1)＋m²－m＝0，

解得m＝－或m＝1，

Δ＝－8m²＋24，当m＝－时，满足Δ>0，∴m＝－，而m＝1时，直线l经过M点，不符合题意，∴l的方程为y＝x－.