Question

下列说法中所有正确命题的序号是

④

．
①函数y=sin（2x-

π

3

）的周期为π，且图象关于直线x=

π

3

对称；
②设ω＞0，将函数f（x）=sin（ωx+3）+1的图象向左平移

2π

3

个单位后与原图象重合，则ω 的最小值是2；
③在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的即不充分也不必要条件；
④函数y=2tan（

x

2

+

π

4

）的一个对称中心是（

π

2

，0）；
⑤如果函数y=sin x+acosx的图象关于直线x=-

π

6

 对称，则a=1．

Answer 1

分析：①函数y=sin（2x-

π

3

）的周期T=π，对称轴方程为x=

kπ

2

+

5π

12

，k∈Z；
②根据图象向左平移

2π

3

个单位后与原图象重合，得到

2π

3

是一个周期，写出周期的表示式，解出不等式，得到ω的最小值；
③由正弦定理知

a

sinA

=

b

sinB

=2R，由sinA＞sinB，知a＞b，所以A＞B，反之亦然，故可得结论；
④由y=tanx的对称中心为（

kπ

2

，0）（k∈Z），即可作出判断；
⑤利用辅助角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过x=-

π

6

，函数取得最值，求出a的值即可．

解答：解：①函数y=sin（2x-

π

3

）的周期T=

2π

2

=π，
对称轴方程为：2x-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，即x=

kπ

2

+

5π

12

，k∈Z，
∴图象不关于直线x=

π

3

对称，故①不成立；
②∵图象向左平

2π

3

个单位后与原图象重合，
∴

2π

3

是一个周期，
∴

2π

ω

=T≤

2π

3

，
∴ω≤3，所以ω的最小值是3，故②不正确；
③由正弦定理知

a

sinA

=

b

sinB

=2R，
∵sinA＞sinB，
∴a＞b，
∴A＞B．
反之，∵A＞B，∴a＞b，
∵a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA＞sinB，
故在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充要条件，故③不正确；
：∵y=tanx的对称中心为（

kπ

2

，0）（k∈Z），
∴由

x

2

+

π

4

=

kπ

2

，得：x=kπ-

π

2

，k∈Z．
当k=1时，x=

π

2

，
故函数y=2tan（

x

2

+

π

4

）的一个对称中心是（

π

2

，0），故④正确；
⑤y=sinx+acosx=

1+a2

sin（x+φ），在对称轴处取得最大值或最小值，
∴sin（-

π

6

）+acos（-

π

6

））=±

1+a2

，
即-

1

2

+

3

2

a=±

1+a2

，
解得a=-

3

，故⑤不成立．
故答案为：④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，是中档题．解题时要注意三角函数、图象的平移、正弦定理、对称中心、恒等变换等知识点的合理运用．