Question

已知椭圆C₁：+=1（a＞b＞0），的右焦点为F，上顶点为A，P为C₁上任一点，圆心在y轴上的圆C₂与斜率为-1的直线l切于点B（-，3-），且AF∥l．
（1）求圆的方程及椭圆的离心率．
（2）过P作圆C₂的切线PE，PG，若的最小值为-，求椭圆的方程．

Answer 1

解：（1）由圆心在y轴上的圆C₂与斜率为1的直线l切于点B（-），所以圆心在过B且垂直于l的直线y=x+3上，又圆心在y轴上，则圆心C₂（0，3），
圆心到直线l：y=-x+3-的距离，所以所求圆C2方程为：x²+（y-3）²=1，又AF∥l，F（c，0），A（0，b），所以有，即b=c，椭圆的离心率为；
（2）设∠EC₂G=2a，则=cos2α=2cos²α-1，
在Rt△PC₂E中，，由椭圆的几何性质有：，
cosα=，所以有，因b＞0，所以b=2，
所以椭圆的方程为．
分析：（1）由圆心在y轴上的圆C₂与斜率为1的直线l切于点B（-），所以圆心在过B且垂直于l的直线y=x+3上，又圆心在y轴上，则圆心C₂（0，3），圆心到直线l：y=-x+3-的距离，由此能求出椭圆的离心率．
（2）设∠EC₂G=2a，则=cos2α=2cos²α-1，在Rt△PC₂E中，，由椭圆的几何性质有：，由此能求出椭圆的方程．
点评：本题考查椭圆的方程和椭圆的离心率的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设条件，合理运用椭圆性质，恰当进行等价转化．