Question

已知正四面体A—BCD，有一只小虫自顶点A沿每一条棱以等可能的概率爬到另外三个顶点B、C、D，然后又从B、C、D中的一个顶点沿每一条棱以等可能的概率爬到其他三个顶点，依次进行下去，记P_n为第n次爬到顶点A的概率.

(1)求P_n的通项公式；

(2)求第2 007次爬到A的概率.

Answer 1

解：(1)由于第n次到顶点A是从B、C、D三个顶点爬行而来，从其中任何一个顶点到达A的概率都是，而第n-1次在顶点A与小虫在B、C、D是对立事件.因此，第n次到顶点A的概率为P_n=(1-P_n-1),即P_n(P_n-1).                                  

∵P₁=1，∴{P_n}是以P₁为首项，公比为的等比数列，

∴P_n=(n≥2,n∈N).                                              

(2)第2 007次爬行到顶点A的概率：P_{2 007}=.