Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左．右焦点分别为F₁F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2

F1F2

+

F2Q

=

0

．
（1）若过A．Q．F₂三点的圆恰好与直线l：x-

3

y-3=0相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M．N两点．试证明：

1

|F2M|

+

1

|F2N|

为定值；②在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由2

F1F2

+

F2Q

=

0

知：F₁为F₂Q中点．由

.

F2A

⊥

AQ

，知F₁为△AQF₂的外接圆圆心，由此能求出椭圆方程．
（2）①由F₂（1，0），知y=k（x-1），

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，代入得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由根与系数的关系知

1

|F2M|

+

1

|F2N|

为定值

4

3

．
②由y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），知

PM

+

PN

=(x1-m，y1)  +(x2-m，y2)=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂），由于菱形对角线垂直，则(

PM

+

PN

)  •

MN

=0，故k（y₁+y₂）+x₁+x₂-2m=0，则k²（x₁+x₂-2）+x₁+x₂-2m=0，由此知存在满足题意的点P且的取值范围是0＜m＜

1

4

．

解答：解：（1）由2

F1F2

+

F2Q

=

0

知：F₁为F₂Q中点．
又∵

.

F2A

⊥

AQ

，
∴|F₁Q|=|F₁A|=|F₁F₂|，即F₁为△AQF₂的外接圆圆心
而|F₁A|=a，|F₁F₂|=2c，∴a=2c，又圆心为（-c，0），半径r=a，
∴

|-c-3|

2

=a，解得a=2，
∴所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．（5分）
（2）①由（1）知F₂（1，0），y=k（x-1），

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，代入得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
又∵|F₂M|=a-ex₁，|F₂N|=a-ex₂，
∴

1

|F2M|

+

1

|F2N|

=

1

a-ex1

+

1

a-ex2

=

2a-e(x1+x2)

a2-ae(x1+x2) +e2(x1x2)

，

1

|F2M|

+

1

|F1M|

=

4- 1 2 - 8k2 3+4k2

4-1• 8k2 3+4k2 + 1 4 • 4k2-12 3+4k2

=

4

3

，
∴

1

|F2M|

+

1

|F2N|

为定值

4

3

．（10分）
②由上可知：y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），

PM

+

PN

=(x1-m，y1)  +(x2-m，y2)=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂），
由于菱形对角线垂直，则(

PM

+

PN

)  •

MN

=0，
故k（y₁+y₂）+x₁+x₂-2m=0，则k²（x₁+x₂-2）+x₁+x₂-2m=0，
k2(

8k2

3+4k2

-2)+

8k2

3+4k2

-2m=0，由已知条件知k≠0且k∈R，
m=

k2

3+4k2

=

1

3 k2 +4

，∴0＜m＜

1

4

，
故存在满足题意的点P且的取值范围是0＜m＜

1

4

．（15分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．