Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F₁，F₂，离心率为e=

2

2

，以F₁为圆心，|F₁F₂|为半径的圆与直线x-

3

y-3=0相切．
（I）求椭圆C的方程；
（II）直线y=x交椭圆C于A、B两点，D为椭圆上异于A、B的点，求△ABD面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）根据椭圆的离心率为e=

2

2

，以F₁为圆心，|F₁F₂|为半径的圆与直线x-

3

y-3=0相切，即可确定几何量的值，从而可得椭圆C的方程；
（II）直线y=x代入椭圆方程，可求|AB|的长，求出点D到直线的距离的最大值，即可求得△ABD面积的最大值．

解答：解：（I）∵椭圆的离心率为e=

2

2

，∴

c

a

=

2

2

∵以F₁为圆心，|F₁F₂|为半径的圆与直线x-

3

y-3=0相切
∴

|-c-3|

2

=2c，∴c=1
∴a=

2

，∴b²=a²-c²=1
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1；
（II）直线y=x代入椭圆方程可得

3

2

x2=1，∴x=±

6

3

，∴|AB|=

4

3

3

设椭圆上点的坐标为D（

2

cosα，sinα），则该点D到直线的距离为

| 2 cosα-sinα|

2

=

| 3 sin(α-φ)|

2

≤

3

2

∴△ABD面积的最大值为

1

2

×

4

3

3

×

3

2

=

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，解题的关键是求出点到直线距离的最大值，属于中档题．