Question

（2012•福州模拟）函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为4

2

，则函数f（x）图象的一条对称轴的方程为（　　）

• A．x=

  π

  4

• B．x=

  π

  2

• C．x=4
• D．x=2

Answer 1

分析：根据题意可求得ω、φ的值，从而可得f（x）的解析式及其对称轴方程，继而可得答案．

解答：解：∵f（x）=2cos（ωx+φ）为奇函数，
∴f（0）=2cosφ=0，
∴cosφ=0，又0＜φ＜π，
∴φ=

π

2

；
∴f（x）=2cos（ωx+

π

2

）
=-2sinωx
=2sin（ωx+π），又ω＞0，
∴其周期T=

2π

ω

；
设A（x₁，2），B（x₂，-2），
则|AB|=

(x2-x1)2+[2-(-2)]2

=4

2

，
∴|x₁-x₂|=x₁-x₂=4．即

1

2

T=4，
∴T=

2π

ω

=8，
∴ω=

π

4

．
∴f（x）=2sin（

π

4

x+π），
∴其对称轴方程由

π

4

x+π=kπ+

π

2

（k∈Z）得：
x=4k-2．
当k=1时，x=2．
故选D．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得ω是难点，考查分析与运算能力，属于中档题．