Question

10．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁（侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱）中，BC=CC₁=1，AC=2，∠ABC=90°．
（1）求证：平面ABC₁⊥平面A₁B₁C；
（2）设D为AC的中点，求平面ABC₁与平面C₁BD所成锐角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由四边形BCC₁B₁是正方形得BC₁⊥B₁C，由A₁B₁⊥平面BCC₁B₁得出A₁B₁⊥BC₁，故BC₁⊥平面A₁B₁C，从而平面ABC₁⊥平面A₁B₁C；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可平面ABC₁与平面C₁BD所成锐角的余弦值．

解答 证明：（1）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，BC=CC₁，
∴四边形BCC₁B₁是正方形，
∴BC₁⊥B₁C，
∵AB⊥BC，AB⊥BB₁，BC，BB₁?平面BCC₁B₁，BC∩BB₁=B，
∴AB⊥平面BCC₁B₁，∵BC₁?平面BCC₁B₁，
∴AB⊥BC₁，又∵AB∥A₁B₁，
∴A₁B₁⊥BC₁，又A₁B₁?平面平面A₁B₁C，B₁C?平面A₁B₁C，A₁B₁∩B₁C=B₁，
∴BC₁⊥平面A₁B₁C，又BC₁?平面ABC₁，
∴平面ABC₁⊥平面A₁B₁C．
（2）∵BC=CC₁=1，AC=2，∠ABC=90°．
∴AB=$\sqrt{3}$，
建立以B为坐标原点，BC，BA，BB₁分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则B（0，0，0），C（1，0，0），B₁（0，0，1），A（0，$\sqrt{3}$，0），C₁（1，0，1），D（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
设平面ABC₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{BA}$=（0，$\sqrt{3}$，0），
则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=x+z=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{BA}$=$\sqrt{3}$y=0，
令x=1，则z=-1，y=0，即平面ABC₁的法向量为，$\overrightarrow{m}$=（1，0，-1），
设平面C₁BD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{BD}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
则$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=x+z=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$y=0，
令y=1，则x=-$\sqrt{3}$，z=$\sqrt{3}$，即平面C₁BD的法向量为，$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{3}$），
则$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}•\sqrt{3+3+1}}$=$\frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{2}•\sqrt{7}}$=-$\frac{\sqrt{42}}{7}$
则平面ABC₁与平面C₁BD所成锐角的余弦值是$\frac{\sqrt{42}}{7}$．

点评 本题主要考查面面垂直的判定以及二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法解二面角是解决本题的关键．