Question

求下列数列的前n项和：

(1)(a-1)+(a²-2)+…+(aⁿ-n);

(2)2,22,222,2 222,…;

(3)1+2x+3x²+…+nx^n-1(x≠0).

   

Answer 1

思路分析：关于数列的求和问题，首先应考虑是否能直接用等差、等比数列求和公式求和.若不能，则应考虑能否通过变换变为等差、等比数列的求和问题.(1)可以先分组，后求和，分成(a+a²+…+aⁿ)与(-1-2-3-…-n)两组求和.(2)通过变换通项将每一项变为(10ⁿ-1),再用等比数列求和.(3)可采用错位相减法求和.

解:(1)当a=0时，(a-1)+(a-2)+…+(a-n)=-.

       当a=1时，(a-1)+(a-2)+…+(a-n)=n-=-.

       当a≠1且a≠0时，

(a-1)+(a²-2)+…+(aⁿ-n)=(a+a²+…+aⁿ)-(1+2+…+n)=-.

(2)∵a_n==×=(10ⁿ-1),

∴S_n=(10-1)+(10²-1)+…+(10ⁿ-1)

=(10+10²+…+10ⁿ)-n

=×-n

=-n.

(3)设S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1,                          ①

    则xS_n=x+2x²+…+(n-1)x^n-1+nxⁿ,                  ②

①-②,得(1-x)S_n=1+x+x²+…+x^n-1-nxⁿ.              ③

    当x=1时，S_n=1+2+3+…+n=;

    当x≠1时，由③得S_n=-.