Question

1．已知点（p，q）是平面直角坐标系xOy上一点，x₁，x₂是方程x²-px+q=0的两个实根．记φ（p，q）=max{|x₁|，|x₂|}（表示|x₁|，|x₂|中的最大值）．过点A（2，1）作抛物线L：y=$\frac{1}{4}$x²的切线交y轴于点B，对线段AB上的任一点Q（p，q），求φ（p，q）的值．

Answer 1

分析 求导，写出过点A（2，1）的切线方程，求得点B的坐标，由新定义可得方程的两根为1和p-1，比较1与p-1，即可得到所求．

解答 解：y=$\frac{1}{4}$x²的导数为y′=$\frac{1}{2}$x，
k_AB=y′|_x=2=$\frac{1}{2}$×2=1，
直线AB的方程为y-1=x-2，即y=x-1，可得B（0，-1），
∴q=p-1，方程x²-px+q=0的判别式△=p²-4q=（p-2）²，两根为1和p-1，
而0≤p≤2，即有p-1≤1，
∴φ（p，q）=1．

点评 本题考查了利用导数研究抛物线的切线方程，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题形式是个新定义问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．