Question

已知，曲线上任意一点分别与点、连线的斜率的乘积为．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）设直线与轴、轴分别交于、两点，若曲线与直线没有公共点，求证：．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），．

（Ⅱ）由得，利用曲线与直线没有公共点，，得到，利用，，及均值定理确定

，

从而证得．    

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设曲线上任意一点的坐标为．利用依题意点分别与点、连线的斜率的乘积为，转化成代数式，整理可得．

（Ⅱ）由得，利用曲线与直线没有公共点，，得到，利用，，及均值定理确定

，

从而证得．    

试题解析：（Ⅰ）设曲线上任意一点的坐标为．

依题意，且，      ３分

整理得．所以，曲线的方程为：，．   5分

（Ⅱ）由得，

，                  7分

由已知条件可知，，所以

，

从而，　　　即．                           13分

考点：1、求轨迹方程，2、直线与椭圆的位置关系，3、均值定理的应用.