Question

18．定义域为R的偶函数f（x）满足对?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[0，1]时，f（x）=-2x²+4x-2，若函数y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 根据定义域为R的偶函数f（x）满足对?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），可以令x=-1，求出f（1），再求出函数f（x）的周期为2，当x∈[0，1]时，f（x）=-2x²+4x-2，画出图形，根据函数y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解．

解答 解：因为 f（x+2）=f（x）-f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数
令x=-1 所以 f（-1+2）=f（-1）-f（1），f（-1）=f（1）
即 f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x）
f（x）是周期为2的偶函数，
当x∈[0，1]时，f（x）=-2x²+4x-2=-2（x-1）²，
图象为开口向下，顶点为（1，0）的抛物线
∵函数y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
∵f（x）≤0，
令g（x）=log_a（|x|+1），
∴g（x）≤0，可得a＜1，
要使函数y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
如图要求g（2）＞f（2），可得
就必须有 log_a（2+1）＞f（2）=-2，
∴可得log_a3＞-2，∴3＜$\frac{1}{{a}^{2}}$，解得-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$又a＞0，
∴0＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$．

点评 此题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是高考常考的热点问题，此题是一道中档题．