Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≤0}\\{{e}^{x}-1，x＞0}\end{array}\right.$，若f（x）≥ax，则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0]
• B． （-∞，1]
• C． [-2，0]
• D． [-2，1]

Answer 1

分析 讨论当x≤0时，x²-2x≥ax，即有a≥x-2，求得x-2的最大值，可得a的范围；再由x＞0，可得e^x-1-ax≥0，由g（x）=e^x-1-ax的导数，判断单调性，可得a的范围，进而得到所求范围．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≤0}\\{{e}^{x}-1，x＞0}\end{array}\right.$，
当x≤0时，x²-2x≥ax，即有a≥x-2，
由x-2≤-2，可得a≥-2；
当x＞0时，e^x-1-ax≥0，
由g（x）=e^x-1-ax的导数为g′（x）=e^x-a，
由x＞0可得e^x＞1，当a≤1可得g′（x）＞0，g（x）递增，
可得g（x）＞g（0）=0，恒成立；
当a＞1时，g（x）不单调，g（x）≥0不恒成立．
综上可得，a的范围是[-2，1]．
故选：D．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和转化为求函数的最值，考查函数的单调性的运用，属于中档题．