Question

19．已知在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin（C+$\frac{π}{6}$）-cosC=$\frac{1}{2}$
（1）求角C的大小；
（2）若c=2$\sqrt{3}$，求当△ABC的周长最大时三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）根据两角和差的正弦公式即可求出，
（2）由余弦定理，和基本不等式得到ab≤12，再根据面积公式即可求出．

解答 解：（1）sin（C+$\frac{π}{6}$）-cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC+$\frac{1}{2}$cosC-cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC-$\frac{1}{2}$cosC=sin（C-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴-$\frac{π}{6}$＜C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，
∴C=$\frac{π}{3}$，
（2）由余弦定理的c²=a²+b²-2abcosC，c=2$\sqrt{3}$，
∴a²+b²-ab=12，
即12=a²+b²-ab≥2ab-ab，
即ab≤12，当且仅当a=b时取等号，
∴（a+b）²=a²+b²+2ab≥4ab≥48，
∴a+b=4$\sqrt{3}$，
∴△ABC的周长最大时ab≤12，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}$×12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
故三角形的面积最大为3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数的化简和求值，以及余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，属于中档题．