Question

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点到准线的距离是2．
（Ⅰ）求此抛物线方程；
（Ⅱ）设点A，B在此抛物线上，点F为此抛物线的焦点，且，若λ∈[4，9]，求直线AB在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点到准线的距离p=2
所以此抛物线方程为y²=4x
（Ⅱ）由题意，直线AB的斜率存在．F（1，0），设直线AB的方程为y=k（x-1）
由消y，整理得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0
△=（2k²+4）²-4k⁴=16k²+16＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₁，y₁）则，x₁•x₂=1
因为，所以（x₂-1，y₂）=λ（1-x₁，-y₁），于是
由y₂=-λy₁，得y₂²=λ²y₁²?4x₂=법4x₁?x₂=법x₁，
又x₁•x₂=1，
消x₂得법x₁²=1，
因为x₁＞0，所以，从而，x₂=λ．
代入得，，
令，
因为在[4，9]上递增，
所以，即，
于是，，或
所以直线AB在y轴上截距的取值范围为：．
分析：（Ⅰ）根据焦点到准线的距离求得p，则抛物线方程可得．
（Ⅱ）设出直线AB的方程与抛物线方程联立消去y，设A（x₁，y₁），B（x₁，y₁）根据韦达定理可表示出x₁+x₂和x₁•x₂，根据，进而求得x₂=법x₁，进而根据x₁•x₂=1，消去x₂，求得x₁和x₂，代入x₁+x₂中，求得λ和k的关系式，根据在[4，9]上递增，进而求得y的范围进而求得k的范围，进而求得直线在x轴上的截距的范围可得．
点评：本题主要考查了抛物线的标准方程，直线与抛物线的关系，向量的计算等．考查了学生运用所学知识灵活解决问题的能力．