Question

【题目】已知函数.

(1)若在上单调递减，求的取值范围；

(2)若在处取得极值，判断当时，存在几条切线与直线平行，请说明理由；

(3)若有两个极值点，求证：.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)证明见解析.

【解析】

(Ⅰ)由题意可得恒成立 ，构造函数，令,由导函数的解析式可知在递增,在递减, 据此计算可得实数a的取值范围.

(Ⅱ) 由在处取得极值可得.原问题等价于求解在区间内解的个数，结合导函数的解析式研究函数的单调性和函数在特殊点处的函数值即可确定切线的条数.而事实情况下检验时函数不存在极值点，所以不存在满足题意的实数，也不存在满足题意的切线.

(Ⅲ)若函数有两个极值点,不妨设，易知,结合函数的解析式和零点的性质即可证得题中的不等式.

(Ⅰ)由已知,恒成立

令,

则,

,令,解得:,令,解得:,

故在递增,在递减,

，由恒成立可得.

即当在上单调递减时,的取值范围是.

(Ⅱ)在处取得极值，则，可得.

令，即 .

设，则.

故在上单调递增，在上单调递减，

注意到，，

则方程在内只有一个实数根，

即当时，只有一条斜率为且与函数图像相切的直线.

但事实上，若，则，

，

故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

且，故函数在区间上恒成立，

函数在区间上单调递减，即函数不存在极值点，

即不存在满足题意的实数，也不存在满足题意的切线.

(Ⅲ)若函数有两个极值点,不妨设，

由(Ⅰ)可知,且：

①,

②,

由①-②得:,

即 ,

由①+②得:,

.