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    【题目】某精准扶贫帮扶单位，为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助精准扶贫户利用互联网电商渠道销售当地特产苹果.苹果单果直径不同单价不同，为了更好的销售，现从该精准扶贫户种植的苹果树上随机摘下了50个苹果测量其直径，经统计，其单果直径分布在区间[50，95]内（单位：），统计的茎叶图如图所示：

    （Ⅰ）从单果直径落在[72，80）的苹果中随机抽取3个，求这3个苹果单果直径均小于76的概率；

    （Ⅱ）以此茎叶图中单果直径出现的频率代表概率.直径位于[65，90）内的苹果称为优质苹果，对于该精准扶贫户的这批苹果，某电商提出两种收购方案：

    方案：所有苹果均以5元/千克收购；

    方案：从这批苹果中随机抽取3个苹果，若都是优质苹果，则按6元/干克收购；若有1个非优质苹果，则按5元/千克收购；若有2个非优质苹果，则按4.5元/千克收购；若有3个非优质苹果，则按4元/千克收购.

    请你通过计算为该精准扶贫户推荐收益最好的方案.

    【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）应选择方案.

    .

    【解析】

    （Ⅰ）直径位于[72，80]的苹果共15个，其中小于76的有7个，随机抽取3个，利用古典概型求解即可（Ⅱ）计算方案B价格的分布列求其期望，与方案A比较即可

    （I）直径位于[72，80]的苹果共15个，其中小于76的有7个，随机抽取3个，这3个苹果直径均小于76的概率为；

    （Ⅱ）样本50个苹果中优质苹果有40个，故抽取一个苹果为优质苹果的概率为.

    按方案A:收购价格为5元

    按方案B:设收购价格为，则

    故的分部列为

    6

    5

    4.5

    4

    0.512

    0.384

    0.096

    0.008

    .故应选择方案.

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    【题目】若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.

    （1）若具有性质，且， ，求；

    （2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列， ， ， 判断是否具有性质，并说明理由；

    （3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.

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    【题目】已知圆的圆心为，为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交于点.

    （1）求点的轨迹方程；

    （2）记点的轨迹为曲线，点，.若点为直线上一动点，且不在轴上，直线、分别交曲线于、两点，求四边形面积的最大值.

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    【题目】已知椭圆的离心率为,抛物线的焦点是,是抛物线上的点,H为直线上任一点,A,B分别为椭圆C的上下顶点,且A,B,H三点的连线可以构成三角形.

    (Ⅰ)求椭圆C的方程;

    (Ⅱ)直线HA,HB与椭圆C的另一交点分别为点D,E,求证:直线DE过定点.

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    【题目】已知椭圆的左顶点为，两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M，N不同的两点．

    （Ⅰ）求椭圆P的方程；

    （Ⅱ）当AM与MN垂直时，求AM的长；

    （Ⅲ）若过点P且平行于AM的直线交直线于点Q，求证：直线NQ恒过定点．

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    【题目】椭圆经过点，左、右焦点分别是，，点在椭圆上，且满足的点只有两个.

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）过且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，在轴上是否存在一点，使得的角平分线是轴？若存在求出，若不存在，说明理由.

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    【题目】自贡农科所实地考察，研究发现某贫困村适合种植，两种药材，可以通过种植这两种药材脱贫.通过大量考察研究得到如下统计数据：药材的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：

    编号

    1

    2

    3

    4

    5

    年份

    2015

    2016

    2017

    2018

    2019

    单价（元/公斤）

    18

    20

    23

    25

    29

    药材的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：

    （1）若药材的单价（单位：元/公斤）与年份编号具有线性相关关系，请求出关于的回归直线方程，并估计2020年药材的单价；

    （2）用上述频率分布直方图估计药材的平均亩产量，若不考虑其他因素，试判断2020年该村应种植药材还是药材？并说明理由.

    参考公式：，（回归方程中）

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    【题目】是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与浓度的数据如下表：

    时间

    周一

    周二

    周三

    周四

    周五

    车流量（万辆）

    50

    51

    54

    57

    58

    的浓度（微克/立方米）

    39

    40

    42

    44

    45

    （1）根据上表数据，求出这五组数据组成的散点图的样本中心坐标；

    （2）用最小二乘法求出关于的线性回归方程；

    （3）若周六同一时间段车流量是100万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时的浓度是多少？

    （参考公式：，）

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    【题目】已知函数.

    (1)若在上单调递减，求的取值范围；

    (2)若在处取得极值，判断当时，存在几条切线与直线平行，请说明理由；

    (3)若有两个极值点，求证：.

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