Question

某造船公司年最大造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3 700x＋45x²－10x³(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5 000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x).

(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本)

(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？

(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

Answer 1

(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x³＋45x²＋3 240x－5 000(x∈N^*，且1≤x≤20)；

MP(x)＝P(x＋1)－P(x)

＝－30x²＋60x＋3 275 (x∈N^*，且1≤x≤19).

(2)P′(x)＝－30x²＋90x＋3 240＝－30(x－12)(x＋9)，

∵x>0，∴P′(x)＝0时，x＝12，

当0<x<12时，P′(x)>0，

当x>12时，P′(x)<0，

∴x＝12时，P(x)有极大值，也是最大值.

即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.

(3)MP(x)＝－30x²＋60x＋3 275

＝－30(x－1)²＋3 305.

所以，当x≥1时，MP(x)单调递减，

所以单调减区间为[1,19]，且x∈N^*.

MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.