Question

17．已知函数f（x）=sinθcosx+（tanθ-2）sinx-sinθ为偶函数．
（1）求sinθ，cosθ的值；
（2）若函数f（x）的最小值为0，求f（x）的最大值及取最大值时x取值的集合．

Answer 1

分析 （1）直接由偶函数的定义得到（tanθ-2）sinx=0，求得tanθ=2，联立平方关系求得sinθ，cosθ的值；
（2）由函数为偶函数可得f（x）=sinθ（cosx-1），然后分$sinθ=\frac{2\sqrt{5}}{5}$和$sinθ=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$分类分析，求得f（x）的最大值及取最大值时x取值的集合．

解答 解：（1）∵f（x）是偶函数，
∴对于任意x∈R，都有f（-x）=f（x），即（tanθ-2）sinx=0，
∴tanθ=2，
则$\left\{\begin{array}{l}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ=1}\\{\frac{sinθ}{cosθ}=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{cosθ=\frac{\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=-\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{cosθ=-\frac{\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$；
（2）当tanθ=2时，f（x）=sinθ（cosx-1），
当$sinθ=\frac{2\sqrt{5}}{5}$时，$f（x）=\frac{2\sqrt{5}}{5}（cosx-1）$最大值为0，不合题意，舍去；
当$sinθ=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$时，$f（x）=-\frac{2\sqrt{5}}{5}（cosx-1）$最小值为0；
当cosx=-1时，f（x）有最大值为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
自变量x的集合为{x|x=2kπ+π，k∈Z}．

点评 本题考查函数奇偶性的性质，考查了三角函数最值的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，属中档题．