Question

已知函数-3≤log

1

2

x≤-

1

2

，求函数y=log2

x

2

•log2

x

4

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：由对数函数的性质可得即log2x∈[

1

2

，3]，而函数式可化为y=(log2x-

3

2

)2-

1

4

，由二次函数区间的最值得求法可得答案．

解答：解：∵-3≤log

1

2

x≤-

1

2

，∴-3≤-log2x≤-

1

2

，即log2x∈[

1

2

，3]，
而函数y=（log₂x-1）（log₂x-2）=log²₂x-3log₂x+2=(log2x-

3

2

)2-

1

4

…（6分）
上式是关于log₂x的二次函数，在[

1

2

，

3

2

]上单调递减，[

3

2

，3]上单调递增，
故当log₂x=

3

2

，即当x=2

2

时，ymin=-

1

4

；…（11分）
当log₂x=3，即x=8时，y_max=2；…（16分）

点评：本题考查函数的值域，由对数的运算性质和二次函数区间的最值来求解是解决问题的关键，属基础题．