Question

（2006•朝阳区一模）设函数f（x）在定义域D上满足f（

1

2

）=-1，f（x）≠0，且当x，y∈D时，f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），若数列{x_n}中，x₁=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

（x_n∈D，n∈N^*），则数列{f（x_n）}的通项公式为（　　）

A．f（x_n）=-2ⁿ+1

B．f（x_n）=-2^n-1

C．f（x_n）=-3^n-1

D．f（x_n）=3ⁿ⁺¹

Answer 1

分析：由所给的函数关系式知f(xn)+f(xn)=f(

2xn

1+ x 2 n

)，而数列之间又具备一个递推式，把递推式代入函数式得2f（x_n）=f（x_n+1），所以数列{f（x_n）}是一个首项为-1，公比是2的等比数列，得到结果．

解答：解：∵f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），
∴f(xn)+f(xn)=f(

2xn

1+ x 2 n

)
∵xn+1=

2xn

1+ x 2 n

∴2f（x_n）=f（x_n+1），
∴数列{f（x_n）}是首项为-1，公比是2的等比数列，
∴f（x_n）=-2^n-1，
故选B

点评：这种题目可以提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．