Question

已知曲线W上的动点M到点F(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离.过点P(-1,0)任作一条直线l与曲线W交于不同的两点A、B,点A关于x轴的对称点为C.

(1)求曲线W的方程;

(2)求证:=λ(λ∈R);

(3)求△PBC面积S的取值范围.

Answer 1

答案：(1)解:由题知,曲线W是以F(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,

所以曲线W的方程为y²=4x.

(2)证明:因为直线l与曲线W交于A、B两点,所以l的斜率k存在,且k≠0,

设直线l的方程为y=k(x+1),由得k²x²+(2k²-4)x+k²=0.

因为直线l与曲线W交于A、B两点,

所以k≠0,Δ=4(k²-2)²-4k⁴＞0,即|k|＜1且k≠0.

设点A,B的坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂),

则x₁+x₂=,x₁x₂=1,点C的坐标为(x₁,-y₁),

y₁=k(x₁+1),y₂=k(x₂+1).

所以=(x₁-1,-y₁),=(x₂-1,y₂).

又因为(x₁-1)y₂-(x₂-1)(-y₁)=(x₁-1)k(x₂+1)+(x₂-1)k(x₁+1)=k(2x₁x₂-2)=0,

所以=λ.

(3)由题意S=|PF|·|y₁+y₂|

=|k(x₁+x₂+2)|=|k(+2)|=.

因为|k|＜1且k≠0,所以S的取值范围是(4,+∞).