Question

（2013•青岛一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0），B（1，0），动点C满足：△ABC的周长为2+2

2

，记动点C的轨迹为曲线W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）曲线W上是否存在这样的点P：它到直线x=-1的距离恰好等于它到点B的距离？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设E曲线W上的一动点，M（0，m），（m＞0），求E和M两点之间的最大距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由：△ABC的周长为2+2

2

，得到两边BC与AC的长度和，又点A（-1，0），B（1，0），符合椭圆定义，所以W的方程可求；
（Ⅱ）若线W上存在这样的点P：它到直线x=-1的距离恰好等于它到点B的距离，说明点P又在抛物线在y²=4x上，联立椭圆和抛物线方程即可得到点P的坐标；
（Ⅲ）把动点E的坐标仅用y表示，然后直接写出E和M两点之间的距离，距离中只含有参数m，对m进行分类讨论求解距离的最大值．

解答：解：（Ⅰ）设C（x，y），∵△ABC的周长为2+2

2

，∴|AC|+|AB|+|BC|=2+2

2

，
又|AB|=2，∴|AC|+|BC|=2

2

＞2，
根据椭圆的定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2

2

的椭圆（除去与x轴的两个交点）．
从而a=

2

，c=1，b²=a²-c²=1
∴W的方程为

x2

2

+y2=1（y≠0）；   
（Ⅱ）存在两个点(3

2

-4，-2

3 2 -4

)和(3

2

-4，2

3 2 -4

)满足题意．
事实上，假设存在点P满足题意，则点P为抛物线y²=4x与曲线

x2

2

+y2=1（y≠0）的交点，
由

y2=4x x2 2 +y2=1(y≠0)

消去y得：x²+8x-2=0．
解得x=3

2

-4或x=-3

2

-4（舍去）．
把x=3

2

-4代人抛物线的方程得y=±2

3 2 -4

．
所以存在两个点(3

2

-4，-2

3 2 -4

)和(3

2

-4，2

3 2 -4

)满足题意．
（Ⅲ）设E（x，y），则由

x2

2

+y2=1（y≠0）得x²=2-2y²（-1≤y≤1，且y≠0）|ME|=

x2+(y-m)2

=

2-2y2+(y-m)2

=

-(y+m)2+2m2+2

．
若-m＜-1，即m＞1时，当y=-1时，|ME|max=

m2+2m+1

=m+1；
若-1≤-m＜0，即0＜m≤1时，当y=-m时，|ME|max=

2m2+2

．

点评：本题考查了椭圆和抛物线的定义，考查了方程组的求解方法，训练了利用分类讨论求函数最值，是中档题．