Question

已知集合A={y|y=2^|x|-1，x∈R}，集合B={y|y=

-x2+2x+3

，x∈R}，则集合{x|x∈A且x∉B}=

 

．

Answer 1

分析：由|x|≥0和指数函数的性质求得集合A={y|y≥0}，再由-x²+2x+3≥0求出-1≤x≤3，用配方法化简函数y=-x²+2x+3，由二次函数的性质求出最值，进而求出函数y=

-x2+2x+3

的值域，即是集合B，最后由集合运算求出集合{x|x∈A且x∉B}．

解答：解：由|x|≥0得，2^|x|≥1，则2^|x|-1≥0，即A={y|y≥0}，
令y=-x²+2x+3，由-x²+2x+3≥0解得，-1≤x≤3
又∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴当-1≤x≤3时，当x=1时，y有最大值是4，当x=-1或3时y有最小值是0，
∴函数y=

-x2+2x+3

的值域是[0，2]，则B={y|0≤y≤2}，
∴集合{x|x∈A且x∉B}={x|x＞2}=（2，+∞）．
故答案为：（2，+∞）．

点评：本题的考点是集合的混合运算，利用了指数函数的性质和二次函数的性质求对应的值域，即是集合A和B，注意应先求出函数的定义域．