Question

（2013•黄埔区一模）给定椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，称圆心在原点O、半径是

a2+b2

的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F(

2

，0)，其短轴的一个端点到点F的距离为

3

．
（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；
（2）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求

AB

•

AD

的取值范围；
（3）在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点，试判断l₁，l₂是否垂直？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆和其“准圆”的标准方程及其定义即可得出；
（2）先设出点B、D的坐标并求出点A的坐标，利用向量的数量积得出

AD

•

AB

，再利用点B在椭圆上即可得出其取值范围；
（3）通过分类讨论，假设在椭圆C的“准圆”上任取一点P作直线与椭圆相切，联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系求出直线是否满足两条直线垂直的条件即可．

解答：解：（1）由题意可得：a=

3

，c=

2

，b=1，∴r=

( 3 )2+12

=2．
∴椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1，其“准圆”的方程为x²+y²=4；
（2）由“准圆”的方程为x²+y²=4，令y=0，解得x=±2，取点A（2，0）．
设点B（x₀，y₀），则D（x₀，-y₀）．
∴

AB

•

AD

=（x₀-2，y₀）•（x₀-2，-y₀）=(x0-2)2-y02，
∵点B在椭圆

x2

3

+y2=1上，∴

x02

3

+y02=1，∴y02=1-

x02

3

，
∴

AD

•

AB

=(x0-2)2-1+

x02

3

=

4

3

(x0-

3

2

)2，
∵-

3

＜x0＜

3

，∴0≤

4

3

(x0-

3

2

)2＜7+4

3

，
∴0≤

AD

•

AB

＜7+4

3

，即

AD

•

AB

的取值范围为[0，7+4

3

)
（3）①当过准圆上点P的直线l与椭圆相切且其中一条直线的斜率为0而另一条斜率不存在时，则点P为(±

3

，±1)，此时l₁⊥l₂；
②当过准圆上的点P的直线l的斜率存在不为0且与椭圆相切时，设点P（x₀，y₀），直线l的方程为m（y-y₀）=x-x₀．
联立

m(y-y0)=x-x0 x2 3 +y2=1

消去x得到关于y的一元二次方程：
(3+m2)y2+(2mx0-2m2y0)y+m2y02+x02-2mx0y0-3=0，
∴△=(2mx0-2m2y0)2-4(3+m2)(m2y02+x02-2mx0y0-3)=0，
化为(y02-1)m2-2mx0y0+x02-3=0，
∵y02-1≠0，m存在，∴m₁m₂=

x02-3

y02-1

．
∵点P在准圆上，∴x02+y02=4，∴x02-3=1-y02，
∴m₁m₂═-1．
即直线l₁，l₂的斜率kl1•kl2=-1，因此当过准圆上的点P的直线l的斜率存在不为0且与椭圆相切时，直线l₁⊥l₂．
综上可知：在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点，l₁⊥l₂．

点评：熟练掌握椭圆和圆的标准方程及其定义、向量的数量积、直线与椭圆相切问题时联立直线与椭圆的方程得出根与系数的关系、两条直线垂直的条件是解题的关键．